2.1 Características de los conjuntos

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

2.1.1 Conjunto Universo, Conjunto Vacío


El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U= {1, 2, 3, 4, 5}

2.1.2 Números Enteros, Racionales, Reales e Imaginarios


Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N= {1, 2, 3,....}

Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}

Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros ({fracciones}). Estos números se representan por una Q.
Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.
Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprensión.

Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.
Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

{X/x Î N; x<60}

En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.

2.1.3 Subconjuntos


Sean los conjuntos: A= {0, 1, 2, 3, 5, 8} y B= {1, 2, 5}

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë.
Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.

2.1.4 Conjuntos Potencia

Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto.
Si tenemos a un conjunto:

A = {a, b, c}

Un subconjunto seria:

{a} o {b} o {c}



Y el conjunto vacío:

{}

También es un subconjunto.

De hecho, si haces un lista de todos los subconjuntos de {a, b, c} tendrás el conjunto potencia de {a, b, c}
P(A)= {{}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}}
Piensa en que estas son las diferentes maneras de elegir los elementos (el orden no importa), incluido tomarlos todos o ninguno.
Para determinar el numero de subconjuntos se utiliza la formula 2n donde, n es el numero de elementos en el conjunto. Por ejemplo, el conjunto A= {a, b, c} tiene 3 elementos y por tanto el numero de subconjuntos esta representado por

2(3). 2(3) = 8.