MA-TEC
Ejercicios
Una relación puede considerarse como un cuadro que muestra las correspondencias de unos elementos con respecto a otro.
Relación entre estudiantes y cursos
Estudiantes Cursos
Bety Computación
Paty Artes
Carlos Matemáticas
Bety Artes
Luis Historia
Carlos Computación
X={Bety, Paty, Carlos, Luis}
Y={Computción, Matemáticas, Artes, Historia}
X Comp. Mate artes historia
Bety (bety, comp) (Bety, artes)
Paty (paty, artes)
Carlos (carlos, comp)(carlos, mate)
Luis (Luis, historia)
Xx y= R={ (bety, comp) (Bety, Artes) (Paty, Artes) (Carlos, Comp) (Carlos, Mate) (Luis, hisotria)}
-El conjunto
{X€X/Cx,y) €R para algún Y€Y}
dominio de R
El conjunto
{Y€Y/CX,Y) €Y para algún X€Y}
Se llama contra dominio de R
Ejemplo:
A={X€N/X es impar: X€[3;9]}
B={X€N/R es par: X€[4;10]}
Regla:
a+b<12
x+y<12
Solución
A={3,5,7}
B={4, 6, ,8, 10}
AxB={(3,4) (3,6) (3,8) (3,10) (5,4) (5,6) (5,8) (5, 10) (7,4) (7,6) (7,8) (7,10)}
R={(3,4) (3,6) (3,8) (5,4) (5,6) (3,4)}
Propiedades de las relaciones
-Reflexiva: teorema: Una relación R sobre un conjunto X recibe el nombre de reflexiva si (XX) €R para todo X€X.
Ejemplo: X={1,2,3,4}
R={(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,2)(2,3)(2,4)(3,3)(3,4)(4,4)}
(1,1) €R (4,4) €R
(2,2) €R :. Es reflexiva
(3,3) €R
Ejemplo: X={a,b,c,d}
R={(a,a)(b,c)(c,b)(dd)}
(a,a) €R (c,c) €R
(d,d) €R (b,b) €R :. No es reflexiva
-Irreflexiva: Teorema: Si (XX) €R para todo X€X
(1,1) €R (4,4) €R
(2,2) €R (5,5) €R
(3,3) €R
-Simetría: Teorema: Es simetría para todo (x,y) €R se tiene (y,x) €R
Ejemplo: X={a,b,c,d}
R={(a,a)(b,c)(c,b)(d,d)}
(b,c) €R (a,d) €R
(c,b) €R (d,a) €R :. Es simétrica
b) X={1,2,3,4}
R={(1,1) (1,2)(1,3)(1,4)(2,2)(2,3)(2,4)(3,3)(3,4)(4,4)}
(1,2) €R (1,3) €R
(2,1) €R (3,1) €R :. No es simétrica
c) X= {1,2,3}
R={(1,1)(1,3)(2,5)(3,1)(3,2)(3,3)}
(1,3)€R (2,3) €R
(3,1) €R (3,2) €R :. Si es simétrica
Antisimétrica: Teorema: Una relación R sobre un conjunto X se llama antisimétrica si para todo (x, y) €R con X≠y Y se tiene (y, x) €R
Ejemplo: X={1,2,3,4}
R={(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,2)(2,3)(2,4)(3,3)(3,4)(4,4)}
(1,2) €R (2,3) €R (2,4) €R
(2,1) €R (3,2) €R (4,2) €R
(1,3) €R (1,4) €R (3,4) €R
(3,1) €R (4,1) €R (4,3) €R :. Es antisimétrica
b) X={a,b,c,d}
R=(a,a)(b,b)(c,d)(d,a)}
(c,d) €R (d,a) €R
(d,c) €R (a,d) €R :. Es antisimétrica
c) X={a,b,c,d}
R={(a,a)(b,c)(c,b)(d,d,)}
(b.c) €R
(c,d)€R :. No es antisimétrica
-Transitiva: Teorema: Una relación R sobre un conjunto X se denomina transitiva si para todo (z,y) (y,z) €R se tiene que (x,z) €R
Ejemplo 1:
(1,2) € (2,4) €R
(2,3)€ (4,4) €R
(1,3) € (2,4) €R :. Es transitiva
Ejemplo 2: X={a,b,c,d}
R={(a,a)(b,c)(c,b)(d,d)}
(b,c) €R (b,b) €R
(c,b) €R :. No es transitiva
Relación de orden parcial
Una relación R sobre un conjunto X recibe el nombre de relación de orden parcial si R es reflexiva, transitiva y antisimétrica.
Ejemplo
1) X={a,b,c,d}
R={(a,a)(a,b)(a,c)(a,d)(b,b)(b,c)(c,d)(c,c)(c,d)(d,d)}
2) X={a,b,c,d}
R={(a,a)(b,c)(c,d)(d,d)}
Relación de equivalencia
Reflexiva, simétrica, transitiva
Ejemplo:
1) X={1,2,3,4,5,6}
R={(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5)(2,2)(2,6)(6,2)(6,6)(4,4)}
2) X={1,2,3,4}
R={(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,2)(2,3)(2,4)(3,3)(3,4)(4,4)}
3) X={1,2,3,4,5}
R={(1,1)(1,3)(1,5)(2,2)(2,4)(3,1)(3,3)(3,5)(4,2)(4,4)(5,1)(5,3)(5,5)}
Examinar las matrices, obtener la relación y todas las propiedades en cada matriz y porque.
Decir si es relación de equivalencia ó de orden parcial.
1) 1 0 1 R={(1,1)(1,3)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3}
0 1 0
1 1 1
Propiedades: reflexiva, no transitiva, simétrica,
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
2) 0110
1100
1011 R={(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(3,1)(3,3)(3,4)(4,3)(4,4)}
0011
Propiedades: no es reflexiva, simétrica, no es simétrica
Relación de equivalencia
3) 111
010 R={(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)
000
Propiedades: no es reflexiva, no es simétrica ,no es transitiva
4) 1001
0111 R={(1,1)(1,4)(2,2)(2,3)(2,4)(3,3)(4,4)}
0010
0001
Propiedades: reflexiva, no es transitiva, anti simétrica
RELACIÓN DE ORDEN PARCIAL
5) 0011
0010 R={(1,3)(1,4)(2,3)(3,4)(4,1)
0001
1000
Propiedades: no es reflexiva, no es simétrica, no es transitiva
6) 0111
0010 R={(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(3,4)}
0001
0000
Irreflexiva, simétrica, no es transitiva
Se si tiene la relación R de X a y Rz de Y a Z se puede formar una relación de X a Z aplicando primero la relación R1 y luego R2. La relación resultante se denota por R2 ° R1
Def. sea R1 una relación de Xa y Y Rz una relación de Ya Z la composición de R1 y R2 se denota por R2 ° R1, es la relación de X a Z ya definida.
R2 ° R1={(x,z)/(X,y)€R y (y,z)€R2 para algún Y€R}
Ejemplo:
R1={(1,2)(1,6)(2,4)(3,4)(3,6)(3,8)}
R2={(2,U)(4,S)(4,T)(6,T)(8,U)}
Calcular la relación R2 ° R1
R2 ° R1={(1,U)(2,S)(2,T)(1,T)(3,S)(3,T)(3,U)}
R1 (1,2) (1,6) (2,4) (3,4) (3,6) (3,8)
R2
(X,U) (1,U)
(4,S) (2,S) (3,S)
(4,T) (2,T) (3,T) (3,T)
(6,T) (1,T)
(8,U) (3,U)
1) 1 0 1 R={(1,1)(1,3)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3}
0 1 0
1 1 1
Propiedades: reflexiva, no transitiva, simétrica,
2) 0110
1100
1011 R={(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(3,1)(3,3)(3,4)(4,3)(4,4)}
0011
Propiedades: no es reflexiva, simétrica, no transitiva
3) 111
010 R={(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)
000
Propiedades: no es reflexiva, antisimetrica,no es transitiva
4) 1001
0111 R={(1,1)(1,4)(2,2)(2,3)(2,4)(3,3)(4,4)}
0010
0001
Propiedades: reflexiva, no es transitiva, anti simétrica
5) 0011
0010 R={(1,3)(1,4)(2,3)(3,4)(4,1)
0001
1000
Propiedades: irreflexiva, antisimetrica, no es transitiva
6) 0111
0010 R={(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(3,4)}
0001
0000
Irreflexiva, anti simétrica , no es transitiva Se si tiene la relación R de X a y Rz de Y a Z se puede formar una relación de X a Z aplicando primero la relación R1 y luego R2. La relación resultante se denota por R2 ° R1
Def. sea R1 una relación de Xa y Y Rz una relación de Ya Z la composición de R1 y R2 se denota por R2 ° R1, es la relación de X a Z ya definida.
R2 ° R1={(x,z)/(X,y)€R y (y,z)€R2 para algún Y€R}
Ejemplo:
R1={(1,2)(1,6)(2,4)(3,4)(3,6)(3,8)}
R2={(2,U)(4,S)(4,T)(6,T)(8,U)}
Calcular la relación R2 ° R1
R2 ° R1={(1,U)(2,S)(2,T)(1,T)(3,S)(3,T)(3,U)}
R1 (1,2) (1,6) (2,4) (3,4) (3,6) (3,8)
R2
(X,U) (1,U)
(4,S) (2,S) (3,S)
(4,T) (2,T) (3,T) (3,T)
(6,T) (1,T)
(8,U) (3,U)
De una relacion de R de x a y puede definirse a una relacion de y a x combinando el orden de cada par ordenado en R.
La de f es la siguiente:
Sea R una relación de x a y la inversa de R se denota por R-1 en la relacionde x a y
Definida por:
MR-1 R-1 ={(4,x)\ (x,4) ER}
Ejemplo: Calcular la inversa de la relación y la matriz de la relación y la inversa
X={2,4,6,8,}
Para todo (x,y) ERS (x<y)
R={(2,4)(2,6)(2,8)(4,6)(4,8)(6,8)}
R-1 ={(4,2)(6,2)(8,2)(6,4)(8,4)(8,6)}
MR-1=0000
1000
1100
1110
X={2,4,6,8}
Para todo (x,y) ER si x>y
Ejemplo:1,1
Sea x ={2,3,4}
Y={3,4,5,6,7}
Si x divide a y (con residuo 0)
Hacer la relación
R={(2,4)(2,6)(3,3)(3,6)(4,4)}
2 Sea R la relación en Y ={1,2,3,4}
Definida por (x,y) ER SI x < y (x,y)
R={(1,1,)(1,2)(1,3)(1,4)(2,2)(2,3)(2,4)(3,3)(3,4)(4,4)}
Obtener la matriz de la relación y calcular la potencia asi como la relación de la matriz obtenida calcular la inversa de MR
1.-101 101 110
011 ° 011 = 010
111 111 011
MR MR = MR2
R-MR2={(1,1)(1,2)(2,2)(3,2)(3,3)}
R-1={(1,1)(2,1)(2,2)(2,3)(3,3)}
2. -0110 0110 0100 0100 0110 0011
1100 1100 = 1001 1001 1100 = 1101
1011 1011 1111 1111 1011 1001
0011 0011 0001 0001 0011 0000
MR MR MR2 MR2 MR MR3
R-MR3 ={(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,4)(3,1)(3,4)}
R-1={(3,1)(4,1)(1,2)(2,2)(4,2)(1,3)(4,3)}
3.-111 111 101 111 100 111 100 111
010 010 = 001 010 = 000 010 000 = 000
000 000 000 000 000 000 000 000
MR MR MR2 MR MR3 MR MR3 MR4
R-MR4={(1,1)(1,2)(1,3)}
R-1={(1,1)(2,1)(3,1)}
4 1001 1001 1010 1001 1011 1001 1011 1100
0111 0111 = 0101 0111 = 0100 0111 0100 = 0011
0010 0010 0000 0010 0000 0010 0000 0000
0001 0001 0000 0001 0000 0001 0000 0000
MR MR MR2 MR MR3 MR MR3 MR4
R-MR4 = {(1,1)(1,2)(2,3)(2,4}
R-1 = {(1,1)(2,1)(3,2)(4,2}
5 0011 0011 0001 0011 1011 0011 0100 0011 0100 0001
0010 0010 0000 0010 1011 0010 0010 0010 0010 0000
0001 0001 = 0000 0001= 1011 0001= 0001 0001 0001 = 0000
1000 1000 1000 1000 1001 1000 1001 1000 1001 1001
MR MR MR2 MR MR3 MR MR4 MR MR4 MR5
R-MR5={ (1,4)(4,1)(4,4)}
R-1={(4,1)(1,4)(4,4)}
6 0111 0111 0101 0111 0100 0111 0111 0111
0010 0010 0001 0010 0001 0010 0100 0010
0001 0001 = 0000 0001 = 0000 0000 = 0100 0001=
0000 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000
MR MR MR2 MR MR3 MR MR4 MR
0101 0111 0101 0100
1000 0010 1000 = 1000
1000 0001 1000 0000
0000 0000 0000 0000
MR5 MR MR5 MR6
R-MR6={(1,1)(2,1)}
R-1={(1,1)(1,2)}
Realiza los siguientes ejercicios si es o no es inyectiva, suprayactiva o biyectiva
A={a,e,i,o,u} B={1,2,3,4,5}
F={a,1)(e,2)(i,3)(0,4)(u,5)}
Funcion biyectiva
A={a,e,i,o,u} C={juan.jorge.pedro,pablo}
F2={(a.juan)(e,jorge)(i,pedro)(o juan)(u,pedro)}
(a,juan)
(o,juan)
(u,pedro)
(i,pedro)
NO es inyectiva
C={juan,jorge,pedro,pablo} D={oso,dado,canica)
F3=(oso,juan)(oso.jorge)(dado,pedro)(canica,pablo)
Funcion suprayactiva
B={1,2,3,4,5} C={juan.jorge,pedro,pablo}
F4={(juan,1)(jorge 2)(pedro3)(pablo4)}
Funcion inyectiva.
