Funciones



           Sean A y B conjuntos. Una función o  transformación f de A a B, denotada por f : A → B es un subconjunto de A × B tal que ∀x(x ∈ A → ∃y (y∈B ∧ (x,y) ∈ f )) y ((x,y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ), y1=y2

Sean A y B dos conjuntos no vacios. Una funcion de A en B, y que notaremos f :A −→ B, es una
relacion de A a B en la que para cada a ∈ A, existe un unico elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f. Si
(a, b) ∈ f, escribiremos f(a) = b y diremos que b es la imagen de a mediante f. Las funciones se especifican de diferentes maneras, una de las cuales es por medio de fórmulas. f(x)=x+1.

Decimos que una relación es una función si para cada elemento del primer conjunto existe una única imagen. Si cada elemento del segundo conjunto es imagen de alguien, entonces la función es Sobreyectiva. Si cada elemento del segundo conjunto es, a lo sumo, imagen de un elemento del primer conjunto, entonces la función es Inyectiva. Si una función es sobreyectiva e inyectiva, entonces es Biyectiva.
En muchas ocasiones a cada elemento de un conjunto se le asigna un elemento particular de un segundo conjunto.

Definición 1. Sean A y B conjuntos. Una función f de A a B es una asignación de exactamente un elemento de B a cada elemento de A. Escribimos f (a)=b si b es el único elemento de B asignado por la función f al elemento a de f:A B A. Si f es una función de A en B, y se escribe 1 Matemáticas Discretas.

Por ejemplo suponer que a un grupo de carros se le asigna una letra del conjunto [A,B,C,D,G]. Suponer que se le asigna al Jaguar la A, al Audi la G, al Ferrari la D, al Porsche la B, y al Mercedes la A. La asignación se ilustraría así Jaguar Audi Ferrari Porsche Mercedes A B C D G.



Funciones Inyectivas
         
         Sea  f una función definida de A a B                        f: A  → B, x,y∈ A                                                                               
                                                                                                                                   ∀x ∀ y (f(x)= f (y) → x = y)

f es 1-1 o Inyectiva  si sus pre imágenes son únicas, es decir                   Si x ≠ y  entonces f(x) ≠ f(y)

Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es inyectiva, cuando cada elemento de la imagen de f lo es, a lo sumo, de un elemento de A. Suele decirse también que la función es uno-a-uno. Dicho de otra forma:

f :A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [a1 =6 a2 =⇒ f(a1) =6 f(a2)]

La “mejor forma” de probar en la practica la inyectividad de una función es utilizar la contra reciproca,
es decir,

f :A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [f(a1) = f(a2) =⇒ a1 = a2]











































En la figura anterior f es inyectiva y g no lo es.



Ejemplo: Determinar si la función f :R −→ R tal que f(x) = x + 2 es inyectiva.

Solución

En efecto, sean x1 y x2 dos n´umeros reales cualesquiera, entonces f(x1) = f(x2) =⇒ x1 + 2 = x2 + 2 =⇒ x1 = x2      luego f es inyectiva.

Funcione Suprayectiva



         Una funcion f entre los conjuntos A y B se dice que es suprayectiva, sobreyectiva o exhaustiva, cuando cada elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Es decir,

                                                                 f :A −→ B es suprayectiva ⇐⇒ ∀b ∈ B, ∃a ∈ A tal que f(a) = b

En otras palabras, f es sobreyectiva si la imagen de f es todo el conjunto B, es decir si Img (f) = B.





























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En la figura anterior f es suprayectiva y, sin embargo g no lo es.



Funcion Biyectiva

         Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es biyectiva, cuando es, a un tiempo, inyectiva y suprayectiva.

Ejemplo: Sea f :A −→ B tal que A = B = R y f(x) = 2x − 3, ∀x ∈ A. ¿Es biyectiva?

Solución
Veamos si es inyectiva y suprayectiva.

(a) Inyectiva. Sean x1 y x2 dos n´umeros reales arbitrarios. Entonces,
f(x1) = f(x2) =⇒ 2x1 − 3 = 2x2 − 3 =⇒ 2x1 = 2x2 =⇒ x1 = x2
luego f es inyectiva.

(b) Suprayectiva. Sea y cualquiera de B. Entonces,

y = 2x − 3 ⇐⇒ 2x = y + 3 ⇐⇒ x = y + 3 /2

luego tomando x = y + 3 / 2, se verifica que x ∈ A y

f(x) = f (y + 3) /2 = (2) ((y + 3) / 2) − 3 = y

Consecuentemente,

∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f(x) = y              o sea, f es suprayectiva. Por ser inyectiva y suprayectiva, f es biyectiva.

A continuacion veremos unos ejercicios sobre los Tipos de Funciones