3.1 Lógica proposicional

La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman.
Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F).

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Por ejemplo:

Hoy es viernes

Ayer llovió

Hace frío

La lógica proposicional, permite la asignación de un valor verdadero o falso para la sentencia completa, no tiene facilidad par analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este motivo, la representación de las sentencias del ejemplo, como proposiciones, sería:

hoy_es_Viernes

ayer_llovió

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hace_frío

La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos más complejos. Por ejemplo:

hoy_es_Viernes y hace_frío.

A la proposición anterior dada como ejemplo, se la denomina fórmula bien formada (well-formed formula, wff). Una fórmula bien formada puede ser una proposición simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. La lógica proposicional proporciona un mecanismo para asignar valores de veracidad a la proposición compuesta, basado en los valores de veracidad de las proposiciones simples y en la naturaleza de los conectores lógicos involucrados.

La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.

Una lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.



3.1.1 Concepto de proposición

En lógica y filosofía, el término proposición se usa para referirse a:

• Las entidades portadoras de los valores de verdad.

• Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales.

• El significado de las oraciones declarativas, como «el Sol es una estrella».

Es un producto lógico del pensamiento que se expresa mediante el lenguaje, sea éste un lenguaje común, cuando adopta la forma de oración gramatical, o simbólico, cuando se expresa por medio de signos o símbolos.
En Lógica tradicional se distinguen la proposición y el juicio, por cuanto la primera es el producto lógico del acto por el cual se afirma o se niega algo de algo, mientras ese acto constituye el juicio.
Para Aristóteles, la proposición es un discurso enunciativo perfecto, que se expresa en un juicio que significa lo verdadero y lo falso como juicio de términos. Por eso el juicio es una afirmación categórica, es decir, incondicionada porque representa adecuadamente la realidad.
Es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa.

• Expresión verbal que afirma o niega algo.

• Secuencia finita de signos con significado y sentido de ser calificado como verdadero o falso.

• Expresión lingüística susceptible de ser calificada de verdadera o falsa. hace referencia explicita a las oraciones aseverativas o enunciativas.

EJEMPLOS:

CIERTOS
• La raíz cuadrada de 4 es 2.

• Los bebes lloran.

• Un cuadrado tiene 4 lados.

FALSOS

• Todos los carros tiene 2 ruedas.

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• 20 + 20 = 20.

• Ningún hombre sabe leer.

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3.1.2  Proposiciones compuestas (Disyunción, Conjunción, Negación, Condicional, Bicondicional)



DISYUNCIÓN

























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La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

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Tabla de verdad de la disyunción
p v q (se lee: ” p o q”)
EJEMPLOS:
p = ” El numero 2 es par”
q = ” la suma de 2 + 2 es 4″
entonces…
pvq: “El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″

p = ” La raíz cuadrada del 4 es 2”
q = ” El numero 3 es par″
entonces…
pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par”​



CONJUNCIÓN























La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.
 

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Tabla de verdad de la conjunción
p ^ q (se lee: ” p y q”)
EJEMPLOS:
p = ” El numero 4 es par”
q = ”Siempre el residuo de los números pares es 2″
entonces…
p^q: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″

p = ” El numero mas grande es el 34”
q = ”El triangulo tiene 3 lados″
entonces…
p^q: “El numero mas grande es el 34 y El triangulo tiene 3 lados”





NEGACIÓN

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La negación es un operador que se ejecuta. sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

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Tabla de verdad de Negación

EJEMPLOS

p:  ”4 + 4 es igual a 9″
-p: “4 + 4 no es igual a 9″

p:  ”El 4 es un numero par”
-p: “El 4 no es un numero par”



CONDICIONAL
 

 

 

 

 

 

 

 

 

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El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, yverdadero en cualquier otro caso.
La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tabla de Verdad Condicional
EJEMPLOS
p:  ”llueve”
q: “hay nubes”
p→q: “si llueve entonces hay nubes”

p:  ”Hoy es miércoles”
q: “Mañana será jueves”

p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves”





BICONDICIONAL





















El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.
 

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Tabla de Verdad Bicondicional

EJEMPLOS
p:  ”10 es un número impar”
q: “6 es un número primo”
p↔q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo”
p:  ”3 + 2 = 7″
q: “4 + 4 = 8″
p↔q: “3 + 2 = 7  si y solo si 4 + 4 = 8″





3.1.3 Tablas de Verdad

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Para empezar debemos de conocer los Símbolos de las conectivas:

NEGACION: ¬,                  se lee “No es cierto que …”

CONJUNCION:^,             se lee “… y …”

DISYUNCION: v,             se lee “… o …

CONDICIONAL: →,         se lee “si … entonces …”

BICONDICIONAL: ↔,     se lee “… si y solo si …”





• la negación es una conectiva lógica que transforma un enunciado en su opuesto lógico y se le llama conectiva singular porque se aplica sobre un solo enunciado



























 



















 

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• la conjunción es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando sus enunciados componentes son verdaderos

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• la disyunción es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando al menos uno de sus enunciados componentes es verdaderos, siendo falsa cuando ambos son falsos



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• ​la condicional es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera cuando el segundo enunciado sea verdadero o tenga el mismo valor de verdad que el primero. al primer enunciado involucrado se le llama antecedente y al segundo se le llama consecuente

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• la doble condicional o bincondicional es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando sus enunciados componentes tienen el mismo valor de verdad.

















































3.1.4 TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA
 

• Tautología: Son aquellas fórmulas que son ciertas para cualquier valoración de los símbolos proposicionales que contiene



• Contradicción: Son aquellas fórmulas que son falsas para cualquier valoración de los símbolos proposicionales que contiene



• Contigencia: Son aquellas fórmulas cuyo valor de verdad o falsedad depende de la valoración de los símbolos proposicionales que contiene.









3.1.5 EQUIVALENCIAS LÓGICAS

Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos.

Diremos que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si es una tautología, es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales.



Equivalencia lógica en la ley asociativa de la conjunción



A modo ilustrativo demostraremos, a continuación, que, en virtud de la ley asociativa de la conjunción, la fórmula p(qr) es lógicamente equivalente a (pq)r.

Para ello no hay más que hacer la tabla de verdad de cada una de esas expresiones y comprobar si, en efecto, todas sus interpretaciones son iguales para la conectiva dominante.

Equivalencia lógica en la ley asociativa de la disyunción

Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con “Vs” y “Fs” donde proceda para comprobar que, en virtud de la ley asociativa de la disyunción, la fórmula p(qr) es equivalente a (pq)r.

Si dos fórmulas lógicas son eqivalentes entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la bicondiconal es una tautología.



EJEMPLO​

​

Equivalencia lógica en la ley asociativa de la conjunción



A modo ilustrativo demostraremos, a continuación, que, en virtud de la ley asociativa de la conjunción, la fórmula p(qr) es lógicamente equivalente a (pq)r.

Para ello no hay más que hacer la tabla de verdad de cada una de esas expresiones y comprobar si, en efecto, todas sus interpretaciones son iguales para la conectiva dominante.

Equivalencia lógica en la ley asociativa de la disyunción

Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con “Vs” y “Fs” donde proceda para comprobar que, en virtud de la ley asociativa de la disyunción, la fórmula p(qr) es equivalente a (pq)r.

Si dos fórmulas lógicas son eqivalentes entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la bicondiconal es una tautología.



(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r)          ¬p ∨ ¬q ∨ r

























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donde se puede observar que la última y la antepenúltima columnas son iguales.

Las equivalencias se relacionan con las tautologías de la siguiente forma











​3.1.6 REGLAS DE INFERENCIA

Regla de inferencia es un esquema para construir inferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones sintácticas entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una aserción llamada conclusión.

Las reglas también se aplican a la lógica informal y a las discusiones, pero la formulación es mucho más difícil y polémica

Reglas de Inferencia Deductiva



MPP Modus ponendo ponens
A → B
A
- – - – -
B



MTTModus tollendo tollens
A → B
¬B
- – - – -
¬A



SD Silogismo Disyuntivo
A ∨ B
¬A
- – - – -
¬B



SH Silogismo hipotético
A → B
B → C
- – - – -
A → C



LS Ley de simplificación
A ∧ B
- – - – -
A



LA Ley de adición
A
- – - – -
A ∨ B

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CONTRA POSITIVA
A → B
- – - – -
¬B → ¬A





3.1.7 ARGUMENTOS VÁLIDOS Y NO VÁLIDOS​

Un argumento es correcto – del punto de vista lógico, si siempre que las premisas son verdaderas su conclusión lo es por razones formales. O, dicho de otro modo, si es imposible por razones formales que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. En este caso se dice que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas o que las premisas implican la conclusión

Si probamos con todas las alternativas, resulta que o y no son las únicas expresiones que no pueden intercambiarse por otras.

De esto es evidente que la validez de (1) depende solo del hecho de que una de las premisas consiste de dos enunciados conectados por la conjunción o, que la otra premisa es la negación del primer enunciado de la primera premisa y que la conclusión es el segundo enunciado de la primera premisa. Y (1) no es el único argumento cuya validez depende de este hecho. Lo mismo ocurre con el ejemplo (4) y (5), por ejemplo. Decimos que (1), (4) y (5) tienen una misma forma en común, y es esta forma la que es responsable de su validez. Esta forma común puede representarse esquemáticamente así:

(6) A o B

No A

B

Estas representaciones esquemáticas de los argumentos se llaman esquemas argumentales. Las letras A y B representan enunciados arbitrarios. Al sustituir estas letras por enunciados reales, obtenemos un argumento real. Cualquier sustitución de este tipo que hagamos en el esquema (6) resultará en un argumento deductivo, por eso decimos que (6) es un esquema argumental deductivo o válido.

Argumento: Conjunto de formulas para el razonamiento logico.
Argumento Valido: Un argumento es valido si se cumple:

Un argumento puede ser válido con premisas y conclusión verdaderas.
Pero también puede ser válido con premisas falsas y conclusión verdadera, o incluso con premisas y conclusión falsas.
Lo que NUNCA será es válido con premisas verdaderas y conclusión falsa.

Ejemplo 1:

p→(q v ¬r), ¬q, p|= ¬r