I'Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesianos de estos dos conjuntos es

el conjunto  formado por todos los pares ordenados (a,b) donde a es un
elemento de A y b es un elemento de B. 
Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto
cartesiano A x B.
Un elemento a, que pertenece al conjunto A, está relacionado con un elemento
b, que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a un subconjunto G
(llamado grafo) del producto cartesiano A x B.
Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto
cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Una relación sería R
= {(a,1),(c,2)}.

A las relaciones también se les llama correspondencias.



























5.1.1 Producto cartesianoConsidere dos conjuntos arbitrarios A y B



El conjunto de todas las parejas

ordenadas (a, b) en donde a  ∈ A y b  ∈ B se llama producto o producto
cartesiano de A y B.
La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de
más de dos conjuntos.
Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al
conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al
primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir: A x B =
{(a, b) / a ∈ A, b ∈ B} El producto cartesiano, en general, no es conmutativo.
Es decir: A x B ≠ B x A. Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean
coincidentes.
EJEMPLO:

Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c,
3), (c, 4)}

Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se
muestra a continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a,
b) de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al
eje x en a, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y en b. A esta
representación se le conoce como diagrama cartesiano.

























Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación

gráfica, donde se destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los
puntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indican la relación que existe
entre cada elemento del conjunto A y su correspondiente en el conjunto B. A
esta representación gráfica se le conoce como un diagrama de flechas

​

5.1.2 Relación Binaria



Una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos
conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares
ordenados,(a,b) E AxB :

Sean  A  y  B  dos conjuntos. Una relación (binaria)  R  de  A  en  B  es un
subconjunto de A × B. Si (x, y) 2 R diremos que x está relacionado con y por R.
Note que en la definición  R  es simplemente un subconjunto de parejas
ordenadas de A × B.

​

R={(a,b): a E A ^ b E B ^ R (a,b) =cierto}

Debido a que este tipo de relaciones son las mas frecuentes, el termino
“relación” denota generalmente una relación binaria; adoptaremos este criterio
cuando no  haya confusión y especificaremos las que no sean binarias con
términos tales como “ternaria” o “n-aria”.

Si (a, b) 2 R diremos que a esta relacionado con b y lo notaremos por aRb.
Si (a, b) /2 R, escribiremos aR/b y diremos que a no esta relacionado con b.

​

EJEMPLO

Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una
relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y)
constituyen un subconjunto de A x A.





















Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está

relacionado con b mediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a,
b) pertenece al subconjunto del producto cartesiano que define la relación.
Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún sentido,
escribiremos a R b o b R a o ambas cosas.
Propiedades de una relación binaria Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R
definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus
respectivas condiciones.



































Ejemplo:

Sea A = {huevos, leche, ma´ız} y B = {vacas, cabras, gallinas}. Escribir la
relacion R de A a B definida por: (a, b) 2 R () a es producido por b
Solucion
La relacion serıa:
R = {(huevos,gallinas),(leche,vacas),(leche,cabras)}