La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.



La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números,demostraciones y computación.

La lógica de predicados estudia las frases declarativas con mayor grado de detalle, considerando la estructura interna de las proposiciones. Se tomara como elemento basico los objetos y las relaciones entre dichos objetos.Es decir, se distingue:

Que se afirma(predicado o relacion)

De quien se afirma(objeto)

Definimos a continuación las reglas sintácticas para construir fórmulas:

Definición 1:El alfabeto de la lógica de predicados estará formado por los siguientes conjuntos simbólicos:
•Conjunto de Símbolos de Variables(VAR): Es un conjunto de las últimas letras del alfabeto en minúsculas. Se utilizan subíndices, por ejemplo:



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•Conjunto de símbolos de Constantes (CONS): Este conjunto lo forman las primeras letras del alfabeto en minúsculas,también utilizaremos subíndices:







•Conjunto de letras de función(FUNC): Representaremos a este conjunto por las letras f,g,h,L. Incluimos subíndices para poder diferenciar las funciones:







•Conjunto de letras de Predicado (PRED): Se representan mediante letras mayúsculas,





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Símbolos de conectivas:



¬ = Negación

∨= Conectiva “o”

∧ = Conectiva “y”

→ = implicación

↔ = Doble implicación o equivalencia



Cuantificadores:

∃=existencial

∀=Universal



EJEMPLOS:



1.- Todo numero es imaginario.

∀(x)(N (x)→I(x))         se lee: “Para todo x tal que x es un numero entonces x es imaginario“

- Recuerda que x puede tomar cualquier valor.

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2.-Algun numero no es par.

∃(x)(N (x)∧¬P(x))      se lee: “existe un x tal que x es un numero y no es par”





3.2.1 CUANTIFICADORES



En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad.

El cuantificador universal indica que algo es cierto para todos los individuos.

Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.

Cuantificador Existencial



La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”.

Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal que…)”, “hay al menos un x tal que…” o “para algún x…”.



EJEMPLOS:



Todos los humanos respiran

(∀ x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa humanos, R respiran y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.



Todos los alumnos son estudiosos

(∀ x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.





3.2.2 REPRESENTACIÓN Y EVALUACIÓN DE PREDICADOS

La principal debilidad de la lógica proposicional es su limitada habilidad para expresar conocimiento. Existen varias sentencias complejas que pierden mucho de su significado cuando se las representa en lógica proposicional. Por esto se desarrolló una forma lógica más general, capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias, esta es la lógica de predicados.

Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro.



La lógica de predicados, se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia. Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia garantizan que sólo serán derivadas consecuencias verdaderas.

El cuantificador universal; “ indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada.

Por ejemplo:

“ X . . . .

Establece que “para todo X, es verdad que . . . “



El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algún valor o valores dentro del dominio.

Por ejemplo:

$ X . . . .

Establece que “existe un X, tal que . . . “

 

ejemplos de predicados cuantificados:



“ X, [niño (X) => le_gusta (X, helados)].

“ Y, [mamífero (Y) => nace (Y, vivo)].

$ Z, [cartero(Z) ^ mordió (boby, Z)].

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